Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（1）求證：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角P-AC--B的一個三角函數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）證明PA⊥平面PBC，只需證明PA⊥BC，PA⊥PB，利用平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，可得BC⊥平面PAB，結(jié)論可證；
（2）作PO⊥AB于點O，OM⊥AC于點M，連接PM，可證∠PMO是二面角P-AC-B的平面角，從而可求二面角P-AC--B的一個三角函數(shù)值．

解答：（1）證明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC；
又∵PA⊥PB，PB∩BC=B
∴PA⊥平面PBC．…..4
（2）解：作PO⊥AB于點O，OM⊥AC于點M，連接PM，
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，由三垂線定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
設PA=PB=

6

，
∵PA⊥PB，∴AB=2

3

，PO=BO=AO=

3

∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴OM=AOsin300=

AO

2

，
∴tan∠PMO=

PO

OM

=

AO

OM

=2．…12

點評：本題考查線面垂直，考查面面垂直的性質(zhì)，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判斷，正確作出面面角，屬于中檔題．