Question

已知△ABC的兩頂點B（1，0）和C（-1，0），兩邊AB、AC所在直線的斜率之積是-2．
（1）求頂點A的軌跡Q；
（2）若不經(jīng)過點B、C的直線l與軌跡Q只有一個公共點，且公共點在第一象限，試求直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設點A（x，y），由斜率公式，列式并化簡，即可；
（2）可設直線l方程為y=kx+b，聯(lián)立軌跡Q的方程，消去y，得到x的方程，由判別式為0，得到k，b的關(guān)系式，求出三角形的面積關(guān)系式，運用基本不等式，即可得到最小值，且k，b的值．

解答： 解：（1）設點A（x，y），則由題設可知：

y

x-1

•

y

x+1

=-2（x≠±1），
化簡可得：x²+

y2

2

=1（x≠±1），
∴點A的軌跡Q是以（0，1）和（0，-1）為焦點，長軸長為2

2

的橢圓（除B，C兩點）．
（2）∵不過點B，C的直線l與軌跡Q只有一個公共點，且公共點在第一象限，
∴可設直線l方程為y=kx+b，其中k＜0，b＞0，
則直線l與兩軸的交點分別為（0，b），（-

b

k

，0）．
由

y=kx+b x2+ y2 2 =1

，得（k²+2）x²+2kbx+b²-2=0       　 　　
∵不過點B，C的直線l與軌跡Q只有一個公共點，
∴△=4k²b²-4（k²+2）（b²-2）=0，即b²=k²+2，
∴三角形面積S=

1

2

•（-

b

k

）•b=

k2+2

-2k

=

-k

2

+

1

-k

≥2

-k 2 • 1 -k

=

2

                  
當且僅當

-k

2

=

1

-k

，即k=-

2

時，直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積取得最小值

2

，
此時b²=k²+2=4，b=2，經(jīng)檢驗知：符合題意．
∴直線l的方程為y=-

2

x+2時，三角形面積的最小值為

2

．

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓方程和直線方程聯(lián)立，消去一個變量，運用判別式判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，以及應用基本不等式求最值，是一道綜合題．