Question

如圖，已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)F（0，1）且與x軸相切，點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F′，動(dòng)點(diǎn)F′的軌跡為C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)A（x₀，y₀）是曲線(xiàn)C上的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)，分別與曲線(xiàn)C相交于另外兩點(diǎn)P、Q，證明：直線(xiàn)PQ的斜率為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)F′（x，y），則可M（

x

2

，

y+1

2

），圓M的直徑為|FF′|=

x2+(y-1)2

，利用動(dòng)圓M與x軸相切，即可求得曲線(xiàn)C的方程；
（2）確定A（x0，

x02

4

），設(shè)P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），利用直線(xiàn)AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，可得它們的斜率互為相反數(shù)，從而可得直線(xiàn)PQ的斜率；

解答： （1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)F′（x，y），則
因?yàn)辄c(diǎn)F（0，1）在圓M上，且點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F′，
所以M（

x

2

，

y+1

2

），…（1分）
且圓M的直徑為|FF′|=

x2+(y-1)2

．…（2分）
由題意，動(dòng)圓M與x軸相切，
所以

|y+1|

2

=

x2+(y-1)2

2

，
兩邊平方整理得：x²=4y，
所以曲線(xiàn)C的方程x²=4y．            …（6分）
（2）證明：因?yàn)锳（x₀，y₀）是曲線(xiàn)C：x²=4y上的點(diǎn)，
所以y₀=

x02

4

，A（x0，

x02

4

）．
又點(diǎn)P、Q在曲線(xiàn)C：x²=4y上，
所以可設(shè)P（x₁，

x12

4

），Q（x₂，

x22

4

），…（7分）
而直線(xiàn)AP，AQ的傾斜角互補(bǔ)，
所以它們的斜率互為相反數(shù)，即

x12 4 - x02 4

x1-x0

=-

x22 4 - x02 4

x2-x0

，…（9分）
整理得x₁+x₂=-2x₀．…（10分）   
所以直線(xiàn)PQ的斜率k_PQ=

x22 4 - x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

=-

x0

2

…（14分）為定值．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線(xiàn)的斜率，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．