【題目】已知點在雙曲線(,)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線有兩個不同的交點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個不同的點,若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,求實數(shù)的值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題(1)要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,必須找到關(guān)于的兩個等式,題中一條漸近線方程為,說明,這是一個等式,點在雙曲線上,那么此點坐標(biāo)適合雙曲線方程,代入進去又可得到一個等式,這樣可解得;(2)直線與雙曲線有兩個不同的交點,直接把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組,此方程組有兩解,方法是消去一個元,得到關(guān)于的二次方程,此方程是二次方程有兩個不等的實根,則;(3)題設(shè)條件說明,如果設(shè),則有,可用表示出來,而在(2)中可用表示出來,代入剛才的等式,得到的方程,可解得.
試題解析:(1)由題知,有
解得
因此,所求雙曲線的方程是.
(2)∵直線過點且斜率為,
∴直線:.
聯(lián)立方程組得.
又直線與雙曲線有兩個不同交點,
∴
解得.
(3)設(shè)交點為,由(2)可得
又以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,
因此,為坐標(biāo)原點).
于是,即,,
,解得.
又滿足,且,
所以,所求實數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某疾病控制中心為了研究某種病毒的抗體,將這種病毒感染源放人含40個小白鼠的封閉容器中進行感染,未感染病毒的小白鼠說明已經(jīng)產(chǎn)生了抗體,已知小白鼠對這種病毒產(chǎn)生抗體的概率為.現(xiàn)對40個小白鼠進行抽血化驗,為了檢驗出所有產(chǎn)生該種病毒抗體的小白鼠,設(shè)計了下面的檢測方案:按(,且是40的約數(shù))個小白鼠平均分組,并將抽到的同組的個小白鼠每個抽取的一半血混合在一起化驗,若發(fā)現(xiàn)該病毒抗體,則對該組的個小白鼠抽取的另一半血逐一化驗,記為某組中含有抗體的小白鼠的個數(shù).
(1)若,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)為減少化驗次數(shù)的期望值,試確定的大小.
(參考數(shù)據(jù):,,,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,AC、BD交于點O,PA⊥平面ABCD,點E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)若,,求二面角的大小.
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【題目】為了預(yù)防流感,某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣的含藥量(毫克)與時間(小時)成正比.藥物釋放完畢后,與的函數(shù)關(guān)系式為(為常數(shù)),如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)求從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時間(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米空氣的含藥量降到0.25毫克以下時,學(xué)生方可進教室,那從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時后,學(xué)生才能回到進教室?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓柱的直徑,是圓柱的母線,,,點是圓柱底面圓周上的點.
(1)求三棱錐體積的最大值;
(2)若,是線段上靠近點的三等分點,點是線段上的動點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線和直線,射線的一個法向量為,點為坐標(biāo)原點,,,點、分別是直線、上的動點,直線和之間的距離為2,于點,于點;
(1)若,求的值;
(2)若,求的最大值;
(3)若,,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩點、,動點在軸上的射影是,且.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)設(shè)直線、的兩個斜率存在,分別記為、,若,求點的坐標(biāo);
(3)若經(jīng)過點的直線與動點的軌跡有兩個交點、,當(dāng)時,求直線的方程.
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