Question

18．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax在區(qū)間（$\frac{1}{3}，+∞}$）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{2}{9}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為2a≥-x²-x在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，令h（x）=-x²-x，x∈（$\frac{1}{3}，+∞}$），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的范圍，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax，
∴f′（x）=x²+x+2a=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$+2a，
若f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{3}，+∞}$）上單調(diào)遞增，
則x²+x+2a≥0在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，
即2a≥-x²-x在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，
令h（x）=-x²-x，x∈（$\frac{1}{3}，+∞}$），
h（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）遞減，
∴h（x）≤h（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{9}$，
∴2a≥-$\frac{4}{9}$，
a≥-$\frac{2}{9}$，
故答案為：[-$\frac{2}{9}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．