已知函數(shù)f(x)=
ax2+bx+cex
(a>0)
的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為-3和0.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)的極小值為-e3,求f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)y=f'(x)的兩個(gè)零點(diǎn)-3和0以及a的符號(hào),即可解得不等式f'(x)>0,f'(x)<0,從而得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及所給已知條件可求出f(x),再利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最大值;
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=
(2ax+b)ex-(ax2+bx+c)ex
(ex)2
=
-ax2+(2a-b)x+b-c
ex
,
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因?yàn)閑x>0,所以y=f'(x)的零點(diǎn)就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零點(diǎn),且f'(x)與g(x)符號(hào)相同.
又因?yàn)閍>0,所以-3<x<0時(shí),g(x)>0,即f'(x)>0,
當(dāng)x<-3,或x>0時(shí),g(x)<0,即f'(x)<0,
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x=-3是f(x)的極小值點(diǎn),所以有
9a-3b+c
e-3
=-e3
b-c=0
-9a-3(2a-b)+b-c=0
,
解得a=1,b=5,c=5,
所以f(x)=
x2+5x+5
ex

∵f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-3,0),單調(diào)減區(qū)間是(-∞,-3),(0,+∞),
∴f(0)=5為函數(shù)f(x)的極大值,
∴f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者.
f(-5)=
5
e-5
=5e5
>5,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-5,+∞)上的最大值是5e5
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案