(2008•黃岡模擬)把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表:設(shè)aij是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行,從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù).
(Ⅰ)若amn=2007,求m,n的值;
(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)=8nx3(x>0)為,若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為bn,求數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(Ⅰ)依題意,三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=
m(m+1)
2
個(gè)數(shù),第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第
m(m+1)
2
項(xiàng),由amn=2007的m是不等式m2+m-1≥2007的最小正整數(shù)解可求得m=45,從而可求得n的值;
(Ⅱ)利用反函數(shù)的概念,可求得f(x)=(
1
2
)
n
3x
(x>0),繼而可求得bn=n3,于是可求f(bn)=(
1
2
)
n
3n3
=n•(
1
2
)
n
,利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和Sn
解答:解:(Ⅰ)∵三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=
m(m+1)
2
個(gè)數(shù),
∴第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第
m(m+1)
2
項(xiàng),即2•
m(m+1)
2
-1=m2+m-1.
因此,使得amn=2007的m是不等式m2+m-1≥2007的最小正整數(shù)解.
由m2+m-1≥2007得m2+m-2008≥0,
∴m≥
-1+
1+8032
2
-1+
7921
2
=44.
∴m=45.
第45行第一個(gè)數(shù)是442+44-1+2=1981,
∴n=
2007-1981
2
+1=14.
(Ⅱ)∵f-1(x)=8nx3(x>0),
∴f(x)=(
1
2
)
n
3x
(x>0).
∵第n行最后一個(gè)數(shù)是n2+n-1,且有n個(gè)數(shù),若n2+n-1將看成第n行第一個(gè)數(shù),則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列,
故bn=n(n2+n-1)+(-2)•
n(n-1)
2
=n3
∴f(bn)=(
1
2
)
n
3n3
=n•(
1
2
)
n

故Sn=
1
2
+2•(
1
2
)
2
+3•(
1
2
)
3
+…+n•(
1
2
)
n
,①
1
2
Sn=(
1
2
)
2
+2•(
1
2
)
3
+…+(n-1)•(
1
2
)
n
+n•(
1
2
)
n+1
,②
①-②得:
1
2
Sn=
1
2
+(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
-n•(
1
2
)
n+1

=
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-n•(
1
2
)
n+1

=1-(n+2)•(
1
2
)
n+1

∴Sn=2-(n+2)•(
1
2
)
n
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,著重考查分析與推理,考查反函數(shù)與錯(cuò)位相減法求和的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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x2
a2
+
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b2
=1
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AM
=-
BM
,且點(diǎn)M在直線l:y=
1
2
x
上,
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