【題目】某公園為了美化環(huán)境和方便顧客,計(jì)劃建造一座圓弧形拱橋,已知該橋的剖面如圖所示,共包括圓弧形橋面和兩條長(zhǎng)度相等的直線型路面、,橋面跨度的長(zhǎng)不超過米,拱橋所在圓的半徑為米,圓心在水面上,且和所在直線與圓分別在連結(jié)點(diǎn)和處相切.設(shè),已知直線型橋面每米修建費(fèi)用是元,弧形橋面每米修建費(fèi)用是元.
(1)若橋面(線段、和弧)的修建總費(fèi)用為元,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為何值時(shí),橋面修建總費(fèi)用最低?
【答案】(1),.(2)
【解析】
(1)設(shè)為弧的中點(diǎn),連結(jié),,,通過解直角三角形以及弧長(zhǎng)公式,求得的長(zhǎng),由此計(jì)算出修建總費(fèi)用的表達(dá)式,根據(jù)長(zhǎng)度的限制,和圓的直徑,求得的取值范圍.
(2)利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得當(dāng)為何值時(shí),取得最小值.
(1)設(shè)為弧的中點(diǎn),連結(jié),,,則
在中,.
又因?yàn)?/span>,所以弧長(zhǎng)為,
所以
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以
所以,.
(2)設(shè),則,令得
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,此時(shí)橋面修建總費(fèi)用最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元,每生產(chǎn)x萬(wàn)件,需另投入流動(dòng)成本C(x)萬(wàn)元,當(dāng)年產(chǎn)量小于7萬(wàn)件時(shí),C(x)=x2+2x(萬(wàn)元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于7萬(wàn)件時(shí),C(x)=6x+1nx+﹣17(萬(wàn)元).已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元,假若該同學(xué)生產(chǎn)的產(chǎn)M當(dāng)年全部售完.
(1)寫出年利潤(rùn)P(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤(rùn)=年銷售收人﹣固定成本﹣流動(dòng)成本
(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí),該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(取e3≈20)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對(duì)任意的,都有恒成立,求的最小值;
(2)設(shè),若為曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn),滿足,且,使得曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,是它的上頂點(diǎn),點(diǎn)各不相同且均在橢圓上.
(1)若恰為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),求的面積;
(2)若,求證:直線過一定點(diǎn);
(3)若,的外接圓半徑為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,是實(shí)數(shù)常數(shù))的圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)是,與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是.
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角所對(duì)的邊分別為,且,角的取值范圍是區(qū)間。當(dāng)時(shí),試求函數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折疊,使得平面平面,平面,是的中點(diǎn),且.
(1)求證:;
(2)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于x的方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是函數(shù)的極大值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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