Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）若方程f（x）=m有兩個不等實根，試求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x₁）=f（x₂）且x₁＜x₂，求證：2x₁+3x₂＞5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，可得以f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減．f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，x＜0時，f（x）＜0，畫出圖象，結合圖象求解．
（Ⅱ）由（1）得0＜x₁＜1＜x₂，要證2x₁+3x₂＞5．只證2x₁+2x₂＞4即證⇒x₁+x₂＞2
 令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}=m}\\{\frac{{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{ln{x}_{1}={x}_{1}+lnm}\\{ln{x}_{2}={x}_{2}+lnm}\end{array}\right.\\;（0＜m＜\frac{1}{e}）$  （0$＜m＜\frac{1}{e}$）
⇒x₁-x₂=lnx₁-lnx₂，⇒$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}=1$…①
由對數(shù)均值不等式得$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}＜\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$…②
結合①②即可得證

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$的定義域為（-∞，+∞）
f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
f（0）=0，x＞0時，f（x）＞0，x＜0時，f（x）＜0，
∴函數(shù)的圖象如下：

結合圖象可得0＜m＜f（1），∴實數(shù)m的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．
（2）證明：f（x₁）=f（x₂）且x₁＜x₂，由（1）得0＜x₁＜1＜x₂
要證2x₁+3x₂＞5．只證2x₁+2x₂＞4即證⇒x₁+x₂＞2
 令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}=m}\\{\frac{{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}=m}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{ln{x}_{1}={x}_{1}+lnm}\\{ln{x}_{2}={x}_{2}+lnm}\end{array}\right.\\;（0＜m＜\frac{1}{e}）$  （0$＜m＜\frac{1}{e}$）
⇒x₁-x₂=lnx₁-lnx₂，⇒$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}=1$…①
由對數(shù)均值不等式得$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}＜\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$…②
由①②得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞1$⇒x₁+x₂＞2，
∴原不等式成立．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，數(shù)形結合思想，應用對數(shù)均值不等式處理極值點偏移問題，屬于難題．