Question

3．設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)．若x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），則2a+b的取值范圍是（2，7）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），建立不等式，利用平面區(qū)域，即可求2a+b的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，x₁∈（-2，-1），x₂∈（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=4-2a+2b＞0}\\{f′（-1）=1-a+2b＜0}\\{f′（0）=2b＞0}\end{array}\right.$，
對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：

三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（2，0），（3，1），
則在（1，0）處，2a+b2，在（3，1）處，2a+b=7，
∴2a+b的取值范圍是（2，7）．
故答案為：（2，7）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查平面區(qū)域的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．