Question

1．如圖：已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，PA=8，PA⊥面ABCD，
點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是PB的中點(diǎn)，連接AM、AN、MN．
（1）求證：AB⊥MN；
（2）求二面角N-AM-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，只要證明$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}=0$，即可證明AB⊥MN．
（2）利用法向量的夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），
得$\overrightarrow{AB}=（0，6，0）$，$\overrightarrow{MN}=（-6，\;0，\;4）$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MN}=0$，∴AB⊥MN．
（2）解：取平面AMB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$，
設(shè)平面AMN的法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，又$\overrightarrow{AM}=（6，3，0）$，$\overrightarrow{AN}=（0，3，4）$，
由$\left\{\begin{array}{l}6x+3y=0\\ 3y+4z=0\end{array}\right.$，取平面AMN的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_2}=（1，-2，\frac{3}{2}）$，
設(shè)二面角N-AM-B為α，則$cosα=\frac{{{{\overrightarrow n}_1}•{{\overrightarrow n}_2}}}{{|{{{\overrightarrow n}_1}}|•|{{{\overrightarrow n}_2}}|}}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{1+4+\frac{9}{4}}}}$=$\frac{{3\sqrt{29}}}{29}$，
∴二面角N-AM-B的大小為$\frac{{3\sqrt{29}}}{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、向量夾角公式、法向量的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．