Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA=$\sqrt{2}$，又E為邊BC上異于B，C的點，且PE⊥ED．
（1）求證：平面PAE⊥平面PDE；
（2）求點A到平面PDE的距離．

Answer 1

分析 （1）證明DE⊥平面PAE，即可證明平面PAE⊥平面PDE．
（2）由題意可得：DE⊥AE，設BE=x，即可表示出AE²=x²-x+1與ED²=x²-5x+7，可得x=1，再由面PAE⊥平面PED可得：A到面PED的距離轉化為A到棱PE的距離，進而根據(jù)Rt△PAE的邊長關系得到答案．

解答 （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DE，
∵PE⊥ED，PA∩PE=P，
∴DE⊥平面PAE，
∵DE?平面PDE，
∴平面PAE⊥平面PDE； 
（2）因為PE⊥ED，PA⊥ED，
所以ED⊥平面PAE，
所以DE⊥AE．
在平行四邊形ABCD中，設BE=x，
則AE²=1+x²-2•1•x•$\frac{1}{2}$=x²-x+1
ED²=1+（2-x）²+2×1×（2-x）×$\frac{1}{2}$=x²-5x+7
由AD²=AE²+DE²可知：x²-3x+2=0，故x=1，x=2（舍）
因為DE⊥平面PAE，
所以面PAE⊥平面PED．
所以A到面PED的距離轉化為A到棱PE的距離．
在Rt△PAE中，PA=$\sqrt{2}$，AE=BE=1，
所以PE=$\sqrt{3}$
所以A到PE的距離d=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故A到平面PED之距為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．