Question

4．圓C與直線2x+y-5=0切于點(diǎn)（2，1），且與直線2x+y+15=0也相切，求圓C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出圓C的圓心坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)圓C與直線2x+y-5=0切于點(diǎn)（2，1），得出斜率之積為-1，列出方程①；
又圓C與直線2x+y+15=0也相切，半徑與點(diǎn)到直線的距離相等，列出方程②；由①②組成方程組，求出a、b的值，從而寫出圓C的方程．

解答 解：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（a，b），
由圓C與直線2x+y-5=0切于點(diǎn)（2，1），
得$\frac{b-1}{a-2}$•（-2）=-1，化簡得a=2b①；
又圓C與直線2x+y+15=0也相切，
得$\sqrt{{（a-2）}^{2}{+（b-1）}^{2}}$=$\frac{|2a+b|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$，
化簡得a²+4b²-20a-10b-4ab+25=0②；
由①、②組成方程組，解得a=1，b=$\frac{1}{2}$；
所以圓C的半徑為r=$\sqrt{{（1-2）}^{2}{+（\frac{1}{2}-1）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以圓C的方程為（x-1）²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了方程組的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．