Question

在△ABC中，分別根據(jù)下列條件，判斷三角形的形狀．
（1）（B為銳角）；
（2）sinA=2cosCsinB；
（3）A、B、C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列
（4）acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC；
（5）；
（6）（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）．

Answer 1

解：（1）∵lga-lgc=lgsinB=-lg
∴∴
∵B為銳角，∴，
由正弦定理可得，，
整理可得cosC=0∴
∴△ABC為等腰直角三角形
（2）∵sinA=2cosCsinB
由正弦定理及余弦定理可得，a=b×
化簡(jiǎn)可得，b=c
所以△ABC為等腰三角形
（3）∵A、B、C成等差數(shù)列，∴A+C=2B，從而可得A+C=，B=
∵a、b、c成等比數(shù)列∴b²=ac
由正弦定理可得
∴∴sinA，
整理可得，則B=C=，
∴三角形△ABC為等邊三角形
（4）∵acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC
由余弦定理可得
=
整理可得
∴
整理可得
∴a=b=c
三角形△ABC為等邊三角形
（5）由已知可得，a³+b³-c³=ac²+bc²-c³
∴（a+b）（a²-ab+b²）=（a+b）c²
∴a²+b²-c²=ab
由余弦定理可得，∴，
∵
∴sinA，
整理可得，則B=C=，
三角形△ABC為等邊三角形
（6）（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）
可得a²[sin（A-B）-sin（A+B）]+b²[sin（A-B）+sin（A+B）]=0
a²sinBcosA=b²sinAcosB
由正弦定理sin²AsinBcosA=sin²BsinAcosB
整理可得sin2A=sin2B，從而可得2A=2B或2A+2B=π

∴三角形△ABC為等腰三角形或直角三角形
分析：（1）先由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，可得，從而可求B，再利用正弦定理代入可求A，C
（2）利用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)可得
（3））∵A、B、C成等差數(shù)列，∴A+C=2B，從而可得A+C=，B=，由a、b、c成等比數(shù)列可得b²=ac，結(jié)合已知及正弦定理可求
（4）利用余弦定理可得由余弦定理可得
=
整理可得，從 而可得a=b=c
（5）先把已知整理可得，a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可求C，及A+B，再由代入可求
（6））由（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）可得a²[sin（A-B）-sin（A+B）]+b²[sin（A-B）+sin（A+B）]=0
整理可得sin2A=sin2B，從而可得
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理綜合解三角形，判斷三角形的形狀，還考查了三角函數(shù)的公式，屬于對(duì)基本知識(shí)的求解，但要體會(huì)在化簡(jiǎn)中的技巧．