已知函數(shù)f(x)=-lnx,x∈(0,e).曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

解:由已知f′(x)=-,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))處的切線方程為y+lnt=-(x-t).

令y=0,得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xA=t(1-lnt),

令x=0,得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為xB=1-lnt,

當(dāng)t∈(0,e)時(shí)，xA＞0,xB＞0,此時(shí)△AOB的面積S＝t(1-lnt)2,S′=(lnt-1)(lnt+1),

解S′＞0,得0＜t＜;解S′＜0，得＜t＜e.

所以(0,)是函數(shù)S＝t(1-lnt)2的增區(qū)間;(,e)是函數(shù)的減區(qū)間。

所以，當(dāng)t=時(shí)△AOB的面積大，最大值為×（1-ln）2=.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù)．則實(shí)數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實(shí)數(shù)a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性．

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