Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的準線與x軸交于點M，
（1）若M點的坐標為（-1，0），求拋物線的方程；
（2）過點M的直線l與拋物線交于兩點P、Q，若

FP

•

FQ

=0（其中F是拋物線的焦點），求證：直線l的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）把點M代入拋物線方程求得p，則拋物線方程可得．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）l的斜率為k．分別表示出

FP

和FQ

，根據

FP

•

FQ

=0，求得關于P，Q點坐標的方程，把直線l的方程與拋物線聯立，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，最后聯立方程求得k，檢驗符合題意．

解答：解：（1）-

p

2

=-1，∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）l的斜率為k．
∵

FP

•

FQ

=0，
∴(x1-

p

2

，y1)•(x2-

p

2

，y2)=0，x1x2-

p

2

(x1+x2)+

p2

4

+y 1y2=0，①
l的方程為y=k(x+

P

2

)，聯立y²=2px，得k2x2+(pk2-2p)x+

k2p2

4

=0，
∴x1+x2=

2p-pk2

k2

，x1x 2=

p2

4

.②
又y1y2=k2[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

].③
聯立①②③得k=±

2

2

.
經檢驗，k=±

2

2

時，l與拋物線交于兩個點．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解此類題應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．