已知橢圓C方程為,過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為
(1)求橢圓方程.
(2)已知A、B方程為橢圓的左右兩個頂點,T為橢圓在第一象限內(nèi)的一點,l為點B且垂直x軸的直線,點S為直線AT與直線l的交點,點M為以SB為直徑的圓與直線TB的另一個交點,求證:

【答案】分析:(1)寫出過右焦點斜率為1的直線方程,由點到直線的距離公式求出原點到該直線的距離由距離等于求出c的值,則a可求,所以橢圓方程可求;
(2)設(shè)出直線AT的方程及點T的坐標(biāo),把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系得到T點坐標(biāo),求出向量的坐標(biāo),由AT方程和直線x=得到S的坐標(biāo),因為,而BT⊥SM,所以得到O,M,S三點共線,從而得到
解答:解:解:(1)設(shè)右焦點為(c,0),則過右焦點斜率為1的直線方程為:y=x-c
則原點到直線的距離=
∴c=1,a=
∴方程為;
(2)設(shè)直線AT方程為:y=k(x+)(k>0),設(shè)點T(x1,y1),
聯(lián)立,得
,又∵A(),

又∵B(),∴
又∵S點的橫坐標(biāo)為,
∴S點的坐標(biāo)為


即BT⊥SO,又∵BT⊥SM,
∴O,M,S三點共線,
所以,
所以
點評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用平面向量解決有關(guān)問題,考查了學(xué)生的運算能力,是難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C方程為x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0),橢圓中心在原點,焦點在x軸上.
(1)證明圓C恒過一定點M,并求此定點M的坐標(biāo);
(2)判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)m=2時,圓C與橢圓的左準(zhǔn)線相切,且橢圓過(1)中的點M,求此時橢圓方程;在x軸上是否存在兩定點A,B,使得對橢圓上任意一點Q(異于長軸端點),直線QA,QB的斜率之積為定值?若存在,求出A,B坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C方程為
x2
a2
+y2=1
,過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為
2
2

(1)求橢圓方程.
(2)已知A,B方程為橢圓的左右兩個頂點,T為橢圓在第一象限內(nèi)的一點,l為點B且垂直x軸的直線,點S為直線AT與直線l的交點,點M為以SB為直徑的圓與直線TB的另一個交點,求證:O,M,S三點共線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C方程為
x2
a2
+y2=1
,過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為
2
2

(1)求橢圓方程.
(2)已知A、B方程為橢圓的左右兩個頂點,T為橢圓在第一象限內(nèi)的一點,l為點B且垂直x軸的直線,點S為直線AT與直線l的交點,點M為以SB為直徑的圓與直線TB的另一個交點,求證:
TB
-
SM
=
TB
-
SO

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省青島市即墨市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C方程為,過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為
(1)求橢圓方程.
(2)已知A,B方程為橢圓的左右兩個頂點,T為橢圓在第一象限內(nèi)的一點,l為點B且垂直x軸的直線,點S為直線AT與直線l的交點,點M為以SB為直徑的圓與直線TB的另一個交點,求證:O,M,S三點共線.

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