Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）．
（I）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，解關(guān)于a的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$=x+$\frac{a}{x}$+2，（x＞0），
∵a＞0，x＞0，∴f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{a}{x}}$+2=2$\sqrt{a}$+2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)“=”成立，
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2，（x≥1），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
a≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（1）=a+3＞0，解得：-3＜a≤1，
a＞1時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：1≤x＜$\sqrt{a}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（$\sqrt{a}$）=2$\sqrt{a}$+2＞0成立，
綜上a＞-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．