Question

已經(jīng)矩陣M=

4 0 0 5

．
（1）求直線4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值與特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專題：矩陣和變換

分析：本題（1）稱由矩陣變換得到直線4x-10y=1上的點(diǎn)與所得曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再用代入法求出所得曲線的方程；（2）根據(jù)矩陣求出對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式，再解相關(guān)的方程得到特征值，由特征值求出本應(yīng)的特征向量，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)直線4x-10y=1上任意一點(diǎn)P′（x′，y′）在矩陣M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P（x，y），
∵M(jìn)=

4 0 0 5

，
∴

4 0 0 5

•

x′ y′

=

x y

，
∴

x=4x′ y=5y′

，
∴

x′= 1 4 x y′= 1 5 y

，
代入4x-10y=1，得到：x-2y=1．
∴直線4x-10y=1在M作用下的方程為：x-2y-1=0．
（2）矩陣M的特征多項(xiàng)式f（λ）=

.

λ-4 0 0 λ-5

.

=（λ-4）（λ-5），
令f（λ）=0，
∴λ₁=4，λ₂=5． 
∴M的特征值為λ₁=4，λ₂=5．
當(dāng)λ₁=4時(shí)，由Mα₁=λ₁α₁，得特征向量α₁=

1 0

，
當(dāng)λ₂=5時(shí)，由Mα₂=λ₂α₂，得特征向量α₂=

0 1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩陣與曲線變換方程的關(guān)系、矩陣的特征值和特征向量，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．