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過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F作直線l1交拋物線于A、B兩點.O為坐標原點.
(1)過點A作拋物線的切線交y軸于點C,求線段AC中點M的軌跡方程;
(2)若l1傾斜角為30°,則在拋物線準線l2上是否存在點E,使得△ABE為正三角形,若存在,求出E點坐標,若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)先設出過點A的拋物線的切線方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用△=0,求出k,再代回切線方程,求C點坐標,這樣就可找到AC中點的坐標,進而求出中點M的軌跡方程.
(2)假設存在符合題意的點E.由已知l1:y-=x  聯(lián)立拋物線方程有:x2=2p(),故可求A,B的坐標.欲使△ABE為正△,則kBE不存在.從而可知不存在符合條件的點E.
解答:解:(1)設A(x1,y1),過點A的切線方程為y=k(x-x1)+y1
得x2-2pkx+2pkx1-2py1=0
令△=4p2k2-4(2pkx1-2py1)=0
解得
∴切線方程為
令x=0,得
∴線段AC中點M為(x,0)
∴點M的軌跡方程為y=0(x≠0)
(2)假設存在符合題意的點E.
由已知l1:y-=x  聯(lián)立拋物線方程有:x2=2p(
∴x2-=0
∴x1=-,x2=p  
故A(-,),B(p,p)
∵△ABE為正△
∴kAE=-
∴AE:y-=-(x+)  即y=-x-
準線l2:y=-∴E(-,p)
欲使△ABE為正△,則kBE不存在.即xB=xE不符合
∴不存在符合條件的點E.
點評:本題以拋物線為載體,考查直線與拋物線的位置關系,解題的關鍵是直線與拋物線方程聯(lián)立,轉化為一元二次方程求解.
練習冊系列答案
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過拋物線x2=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12
2
,則P=
 

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直線AB過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F,并與其相交于A、B兩點,Q是線段AB的中點,M是拋物線的準線與y軸的交點,O是坐標原點.
(Ⅰ)求
MA
MB
的取值范圍;
(Ⅱ)過A、B兩點分別作此拋物線的切線,兩切線相交于N點,求證:
MN
OF
=0,
NQ
OF
;
(Ⅲ)若p是不為1的正整數,當
MA
MB
=4P2,△ABN的面積的取值范圍為[5
5
,20
5
]時,求該拋物線的方程.

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設直線l過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F,且與該拋物線交于A、B兩點,l的斜率為k,點C(0,t),當k=0,t=1+2
3
時,△ABC為等邊三角形.
(Ⅰ)求拋物線的方程.
(Ⅱ)若不論實數k取何值,∠ACB始終為鈍角,求實數t的取值范圍.

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(2013•武漢模擬)過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F做傾斜角為30°的直線,與拋物線交于A、B兩點(點A在y軸左側),則
|AF|
|BF|
的值為(  )

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