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已知函數f(x)=a•ex+
a+1x
-2(a+1)(a>0)

(Ⅰ)當a=1時,求f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若對于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)當a=1時求出f(x),求導f′(x),切線斜率k=f′(1),f(1)=e-2,利用點斜式即可求得切線方程;
(Ⅱ)對于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,等價于f(x)min≥0,利用導數判斷函數f(x)的單調性、極值,從而確定其最小值,其中為判定導數符號需要構造函數.
解答:(Ⅰ)當a=1時,f(x)=ex+
2
x
-4,∴f′(x)=ex-
2
x2
,∴f′(1)=e-2,
∵f(1)=e-2,
∴f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為:(e-2)x-y=0.        
(Ⅱ)∵f(x)=a•ex+
a+1
x
-2(a+1)(a>0)

∴f′(x)=
ax2ex-(a+1)
x2
,
令g(x)=ax2ex-(a+1),則g′(x)=ax(2+x)ex>0,
∴g(x)在(0,+∞)上單調遞增,
∵g(0)=-(a+1)<0,當x→+∞時,g(x)>0,
∴存在x0∈(0,+∞),使g(x0)=0,且f(x)在(0,x0)上單調遞減,f(x)在(x0,+∞)上單調遞增,
∵g(x0)=ax02ex0-(a+1)=0,∴ax02ex0=a+1,即aex0=
a+1
x02

∵對于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,
∴f(x)min=f(x0)=aex0+
a+1
x0
-2(a+1)≥0,∴
a+1
x02
+
a+1
x0
-2(a+1)≥0,
1
x02
+
1
x0
-2≥0
,∴2x02-x0-1≤0,解得-
1
2
≤x0≤1,
ax02ex0=a+1,∴x02ex0=
a+1
a
>1,
令h(x0)=x02ex0,而h(0)=0,當x0→+∞時,h(x0)→+∞,
∴存在m∈(0,+∞),使h(m)=1,
∵h(x0)=x02ex0在(0,+∞)上,∴x0>m,
∴m<x0≤1,
∵h(x0)=x02ex0在(m,1]上∴h(m)<h(x0)≤h(1),
∴1<
a+1
a
≤e,∴a≥
1
e-1
點評:本題考查曲線上某點處切線方程的求解及函數恒成立問題,考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力,正確理解導數的幾何意義是關鍵,至于恒成立問題常常轉化為函數最值處理,本題綜合性強,難度大.
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