Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），點(diǎn)M（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）在曲線C上，且對(duì)應(yīng)的參數(shù)α=$\frac{π}{6}$．
（1）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）作斜率為$\sqrt{3}$的直線l，交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求直線l的參數(shù)方程及|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓參數(shù)方程可得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$=acos$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$=bsin$\frac{π}{6}$，解得a，b．可得曲線C的參數(shù)方程，化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可化為極坐標(biāo)方程．
（2）由已知可得直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）由曲線C的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$=acos$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$=bsin$\frac{π}{6}$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，其直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
其極坐標(biāo)方程為：ρ²cos²θ+2ρ²sin²θ=2．
（2）∵直線l點(diǎn)P（0，2）且斜率為$\sqrt{3}$，
故直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入曲線C的方程可得：$\frac{7}{8}$t²+（2$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$）t+$\frac{7}{2}$=0，
∴|PA|+|PB|=|t₁+t₂|=$\frac{16\sqrt{3}+4}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)直角方程極坐標(biāo)方程的互化及其應(yīng)用、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題