Question

（2013•奉賢區(qū)二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=1，則公比q的取值范圍是（　�。�

A．0＜q＜1

B．0＜q≤1

C．q＞1

D．q≥1

Answer 1

分析：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S_n，S_n+1列出關(guān)于q的表達(dá)式，利用條件

lim

n→+∞

Sn+1

Sn

=1，分類討論然后求解即可得到答案．

解答：解：當(dāng)q=1時(shí)，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
所以

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

n+1

n

=1成立，
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，所以

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-qn+1

1-qn

，
可以看出當(dāng)0＜q＜1時(shí)，

lim

n→∞

1-qn+1

1-qn

=1成立，
故q的取值范圍是（0，1]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，此主要考查極限及其運(yùn)算，其中涉及到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，要分類討論求解．屬于綜合題目有一定的計(jì)算量．