Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1、A2 ， 上、下頂點分別為B2、B1 ， O為坐標原點，四邊形A1B1A2B2的面積為4，且該四邊形內切圓的方程為x2+y2= ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若M、N是橢圓C上的兩個不同的動點，直線OM、ON的斜率之積等于﹣ ，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵四邊形A1B1A2B2的面積為4，又可知四邊形A1B1A2B2為菱形，

∴ ，即ab=2 ①

由題意可得直線A2B2方程為： ，即bx+ay﹣ab=0，

∵四邊形A1B1A2B2內切圓方程為 ，

∴圓心O到直線A2B2的距離為 ，即 ②

由①②解得：a=2，b=1，

∴橢圓C的方程為：

（Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直線l與橢圓C相交于M，N兩個不同的點，

∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③

由韋達定理：

∵直線OM，ON的斜率之積等于 ，

∴ ，

∴ ，

∴2m2=4k2+1滿足③…（9分）

∴ ，

又O到直線MN的距離為 ， ，

所以△OMN的面積

若直線MN的斜率不存在，M，N關于x軸對稱

設M（x1，y1），N（x1，﹣y1），則 ， ，

又∵M在橢圓上， ，∴ ，

所以△OMN的面積S= = =1．

綜上可知，△OMN的面積為定值1

【解析】（Ⅰ）利用四邊形A1B1A2B2為菱形，求出ab=2，圓心O到直線A2B2的距離為 ，列出方程，求出a，b，即可得到橢圓方程．（Ⅱ）若直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0，利用韋達定理以及判別式，通過直線OM，ON的斜率之積等于 ，求出三角形的面積，若直線MN的斜率不存在，M，N關于x軸對稱，設M（x1，y1），N（x1，﹣y1），求解三角形的面積即可．