Question

設函數f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx（a∈R）
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≥2時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意a∈（2，3）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）將a=1代入函數求出導函數得到單調區(qū)間，從而求出極值，
（Ⅱ）先求出導函數，再分別討論a＞2，a=2，a＜2時的情況，綜合得出單調區(qū)間；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）時，f（x）在[2，3]上遞減，x=1時，f（x）最大，x=2時，f（x）最小，從而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2）=

a

2

-

3

2

+ln2，進而證出ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2．經整理得m＞

1

2

-

3

2a

，由2＜a＜3得；-

1

4

＜

1

2

-

3

2a

＜0，從而m≥0．

解答： 解；（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），
a=1時，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
令f′（x）=0，得x=1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值；
（Ⅱ）f′x）=（1-a）x+a-

1

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，
當

1

a-1

=1，即a=2時，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上遞減；
當

1

a-1

＜1，即a＞2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

，或x＞1，令f′（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1，
當

1

a-1

＞1，即a＜2時，矛盾舍，
綜上，a=2時，f（x）在（0，+∞）遞減，a＞2時，f（x）在（0，

1

a-1

）和（1，+∞）遞減，在（

1

a-1

，1）遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）時，f（x）在[1，2]上遞減，
x=1時，f（x）最大，x=2時，f（x）最小，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2）=

a

2

-

3

2

+ln2，
∴ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2．
a＞0時，經整理得m＞

1

2

-

3

2a

，
由2＜a＜3得；-

1

4

＜

1

2

-

3

2a

＜0，
∴m≥0．

點評：本題考察了利用導數求函數的單調性，求函數的極值問題以及不等式的證明，是一道綜合題．