Question

若不等式x+2

xy

≤a(x+y)對任意的實數x＞0，y＞0恒成立，則實數a的最小值為

5 +1

2

．

Answer 1

分析：不等式x+2

xy

≤a(x+y)分離參數，再利用換元法，構造函數，利用導數法確定函數的最大值，從而可求實數a的最小值．

解答：解：不等式x+2

xy

≤a(x+y)可化為a≥

x+2 xy

x+y

∴a≥

1+2 y x

1+ y x

令t=

y x

(t＞0)，∴a≥

1+2t

1+t2

令u=

1+2t

1+t2

，∴u′=

2(1-t-t2)

(1+t2)2

令u′=0，∴t=

5 -1

2

（負值舍去）
∴函數在（0，

5 -1

2

）上單調增，在（

5 -1

2

，+∞）上單調減
∴t=

5 -1

2

時，函數u=

1+2t

1+t2

取得最大值為

5 +1

2

∴a≥

5 +1

2

∴實數a的最小值為

5 +1

2

故答案為：

5 +1

2

點評：本題考查恒成立問題，涉及到兩個變量，一般都是把它變成一個變量去考慮的，屬于中檔題．