Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)-1≤x＜0時，f(x)=-

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明；
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，1]時，關(guān)于x的方程

2x

f(x)

-2x+λ=0有解，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（0）=0，設(shè) x∈（0，1]，可得，-x∈[-1，0），結(jié)合已知函數(shù)解析式及f（x）=-f（-x）即可求解；
（Ⅱ）先設(shè)任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，然后利用作差法比較f（x₁），f（x₂）的大小即可判斷
（Ⅲ）利用換元法，設(shè)t=2^x，則t∈（1，2]，然后結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解即可

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時，f（x）=0，…（1分）
當(dāng) x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），
所以f(x)=-f(-x)=

2x

1+4x

，…（4分）
綜上：f(x)=

2x 1+4x ，x∈(0，1] 0，       x=0 - 2x 1+4x ，x∈[-1，0).

．…（5分）
（Ⅱ）證明：任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(1+4x1)(1+4x2)

由x₁＜x₂，故2x1＜2x2，又1-2x1+x2＜0，(1+4x1)(1+4x2)，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．…（9分）
（Ⅲ）λ=2^x-1-4^x，
設(shè)t=2^x，則t∈（1，2]，
故λ=-t2+t-1=-(t-

1

2

)2-

3

4

∈[-3，-1)．…（14分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解等綜合應(yīng)用．