Question

如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA中點(diǎn)。

（1）求證：直線BD⊥平面OAC；
（2）求直線MD與平面OAC所成角的大��；
（3）求點(diǎn)A到平面OBD的距離。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）30°；（3）.

試題分析：方法一：向量法以A為原點(diǎn)，AB，AD，AO分別x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A－xyz (1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與垂直的關(guān)系，∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)∴＝0，＝－1＋1＝0∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A故BD⊥平面OAC ；
（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)[ K則：
∴＝60°故：MD與平面OAC所成角為30°；
（3）設(shè)平面OBD的法向量為＝(x，y，z)，則
取＝(2，2，1)則點(diǎn)A到平面OBD的距離為d＝；
方法二：幾何法（1）由線面垂直的的判斷定理證明，由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD，∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC ；（2）先構(gòu)造線面所成的角，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角，又由于∵M(jìn)D＝，DE＝∴直線MD與平面OAC折成的角為30°；（3）構(gòu)造點(diǎn)到面的距離，作AH⊥OE于點(diǎn)H，∵BD⊥平面OAC∴BO⊥AH
線段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離，有AH＝可知點(diǎn)A到平面OBD的距離為.
試題解析：方法一：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AO分別x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A－xyz。
（1）∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)
∴＝0，＝－1＋1＝0
∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A
故BD⊥平面OAC                                     4分
（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)
則：
∴＝60°
故：MD與平面OAC所成角為30°                  8分
（3）設(shè)平面OBD的法向量為＝(x，y，z)，則

取＝(2，2，1)
則點(diǎn)A到平面OBD的距離為d＝      12分
方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形
∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC                            4分
（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角
∵M(jìn)D＝，DE＝
∴直線MD與平面OAC折成的角為30°                   8分
（3）作AH⊥OE于點(diǎn)H。
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
線段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離。
∴AH＝
∴點(diǎn)A到平面OBD的距離為                          12分