Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁=2，A₁A=4，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)．
求證：（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直線A₁F∥平面ADE；
（3）若B₁C₁=2，求三棱錐F-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得CC₁⊥平面ABC，進(jìn)一步得CC₁⊥AD．又AD⊥DE，由線面垂直的判定得AD⊥平面BCC₁B₁．再由面面垂直的判定得平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）由A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，得A₁F⊥B₁C₁．進(jìn)一步得CC₁⊥A₁F．可得A₁F⊥平面BCC₁B₁．結(jié)合（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，得A₁F∥AD．再由線面平行的判定定理得A₁F∥平面ADE；
（3）直接利用等積法把三棱錐F-ADE的體積轉(zhuǎn)化為A-FDE的體積求解．

解答 （1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，∴CC₁⊥AD．
又∵AD⊥DE，CC₁，DE?平面BCC₁B₁，CC₁∩DE=E，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．又AD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）證明：∵A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)，∴A₁F⊥B₁C₁．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁F．
又∵CC₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁F⊥平面BCC₁B₁．
由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，∴A₁F∥AD．
又AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，∴A₁F∥平面ADE；
（3）解：∵A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=2，∴AD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
又A₁A=4，∴${S}_{△FDE}=1×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×2=2$，
∴${V}_{F-ADE}={V}_{A-FDE}=\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判斷，考查平面與平面垂直的判斷，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．