Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，向量

x

=（2a+c，b），

y

=（cosB，cosC），且

x

•

y

=0．
（1）求∠B的大��；
（2）若b=

3

，求a+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)后，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)A與B都為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的值；
（2）由b與cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式即可求出a+c的最大值．

解答：解：（1）∵

x

=（2a+c，b），

y

=（cosB，cosC），

x

•

y

=0，
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
∵A與B都為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，cosB=-

1

2

，
則B=

2π

3

；
（2）∵b=

3

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得：3=a²+c²-2ac×（-

1

2

）=（a+c）²-ac，
∴（a+c）²=3+ac≤3+（

a+c

2

）²，
∴（a+c）²≤4，即a+c≤2，
則當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，a+c的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．