Question

7．如圖，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE=2，EC=$\sqrt{7}$，EA=3，∠ADC=$\frac{2π}{3}$，∠BEC=$\frac{π}{2}$．
（1）求sin∠CED的值；
（2）求BE的長．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，由余弦定理，即可求得CD的值，由正弦定理即可求得sin∠CED的值；
（2）由題意可知cos∠AEB的值，在在Rt△EAB中，cos∠AEB=$\frac{EA}{BE}$，即可求得BE的值．

解答 解：（1）設∠CED=α，在△CDE中，由余弦定理，得EC²=CD²+DE²-2CD•DE•cos∠EDC
于是由題設知，7=CD²+4+2CD，即CD²+2CD-3=0解得CD=1（CD=-3舍去），
在△CDE中，由正弦定理，得$\frac{EC}{sin∠EDC}=\frac{CD}{α}$，
$sinα=\frac{{CD•\frac{2π}{3}}}{EC}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}，即sin∠CED=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$；…（6分）
（2）由題設知，$0＜α＜\frac{π}{2}$，于是由（1）知，
而$∠AEB=\frac{π}{2}-α$，所以$cos∠AEB=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$
在Rt△EAB中，$cos∠AEB=\frac{EA}{BE}=\frac{3}{BE}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
∴$BE=2\sqrt{21}$．…（12分）

點評 本題主要考查解三角形的應用，根據正弦定理和余弦定理是解決本題本題的關鍵，難度不大，屬于中檔題．