Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中對角線B₁D與平面A₁BC₁所成的角大小為（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出對角線B₁D與平面A₁BC₁所成的角大小．

解答：解：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則D（0，0，0），B₁（1，1，1），A₁（1，0，1），
B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DB1

=（1，1，1），

BA1

=（0，-1，1），

BC1

=（-1，0，1），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

BA1

=0，

n

•

BC1

=0，
∴

-y+z=0 -x+z=0

，∴

n

=（1，1，1），
設(shè)對角線B₁D與平面A₁BC₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

DB1

，

n

＞|=|

3

3 • 3

|=1，
∴θ=

π

2

．
故選D．

點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．