Question

對一塊邊長為1的正方形進行如下操作：第一步，將它分割成3×3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形，其面積S₁=

5

9

；第二步，將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作，得到圖②；依此類推，到第n步，所得圖形的面積S_n=（

5

9

）ⁿ．若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則
（Ⅰ）當n=1時，所得幾何體的體積V₁=

 

．
（Ⅱ）到第n步時，所得幾何體的體積V_n=

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：類比正方形求面積，可得正方體求體積，得出所有體積構(gòu)成以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，從而可得結(jié)論．

解答： 解：推廣到棱長為1的正方體中，
第一步，將它分割成3×3×3個正方體，其中心和八個角的9個小正方體，其體積為

9

27

=

1

3

，
第二步，執(zhí)行同樣的操作，其體積為（

1

3

）²，
…
依此類推，到第n步，所有體積構(gòu)成以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴到第n步，所得幾何體的體積V_n=（

1

3

）ⁿ=

1

3n

，
故答案為

1

3

，

1

3n

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項的求解，解題的關(guān)鍵是得出所有體積構(gòu)成以

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．