Question

4．AC是圓O的直徑，BD是圓O在點(diǎn)C處的切線，AB、AD分別與圓O相交于E，F(xiàn)，EF與AC相交于M，N是CD中點(diǎn)，AC=4，BC=2，CD=8
（Ⅰ）求AF的長(zhǎng)；
（Ⅱ）證明：MN平分∠CMF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CF，證明AC⊥CD，利用射影定理求AF的長(zhǎng)；
（Ⅱ）證明CF⊥MN，利用MC=MF，即可證明：MN平分∠CMF．

解答 （Ⅰ）解：連接CF，
∵AC是圓O的直徑，
∴CF⊥AF，
∵BD是圓O在點(diǎn)C處的切線，
∴AC⊥CD．
Rt△ACD中，AD=$\sqrt{16+64}$=4$\sqrt{5}$，
根據(jù)射影定理，AC²=AF•AD，
∴AF$\frac{4}{5}\sqrt{5}$；
（Ⅱ）證明：∵AC=4，BC=2，CD=8，∠ACB=∠ACD=90°，
∴△ACB∽△DCA，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∴EF是圓的直徑，即M是圓心．
∵N是CD中點(diǎn)，
∴MN∥AD，
∴CF⊥MN．
∵M(jìn)C=MF，
∴MN平分∠CMF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的證明，考查射影定理的運(yùn)用，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．