設a,b,c是直角△ABC的三條邊的邊長,c是斜邊,整數(shù)n≥3,求證:an+bn<cn

 

答案：
解析：

　　分析:在直角三角形ABC中,有,于是證不等式an+bn<cn,就變?yōu)樽C明sinnA+cosnA<1.

　　解:在Rt△ABC中,A為銳角,,

　　如圖,A為坐標原點,設角A的終邊與單位圓交于點P(x,y),過P作x軸的垂線,M為垂足,則MP=y,OM=x,|OP|=r=1,顯然有0＜x＜1,0＜y＜1且0＜sinA＜1且0＜cosA＜1.

　　又∵OM2+MP2=OP2,∴sin2A+cos2A=1.

　　又由指數(shù)函數(shù)的性質得,當n≥3時,sinnA<sin2A,cosnA<cos2A．

　　∴sinnA+cosnA<sin2A+cos2A=1

　　即.　　　　 

　　

 


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AB
•
MC
=2
3
+
AB
•
MA
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1
2
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