Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=λa_n-1（

1

2

≤λ≤2且λ≠1，n∈N^*）．
（1）試判斷數(shù)列{a_n}是否為等比數(shù)列，若不是，說明理由；若是，求數(shù)列{a_n}的公比f（λ）的取值范圍；
（2）當(dāng)λ=2時，數(shù)列{b_n}滿足bn+1=an+bn(n∈N*)且b₁=3，若不等式 log2(bn-2)＜

3

16

n2+t對任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）n=1時，a₁=S₁=λa₁-1，得a1=

1

λ-1

，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（λa_n-1）-（λa_n-1-1），故an=

λ

λ-1

an-1，由此能求出公比f（λ）的取值范圍．
（2）由（1）知，an=

1

λ-1

(

λ

λ-1

)n-1，當(dāng)λ=2時，an=2n-1，所以bn=2n-1+2，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）n=1時，a₁=S₁=λa₁-1，得a1=

1

λ-1

，（1分）
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（λa_n-1）-（λa_n-1-1），
∴an=

λ

λ-1

an-1，（3分）
∴{a_n}是以

1

λ-1

為首項(xiàng)，

λ

λ-1

為公比的等比數(shù)列，（4分）
∴公比f(λ)=

λ

λ-1

=1+

1

λ-1

在[

1

2

，1)和（1，2]內(nèi)分別遞減，
∴f（λ）∈（-∞，-1]∪[2，+∞）．（7分）
（2）由（1）知，an=

1

λ-1

(

λ

λ-1

)n-1，
當(dāng)λ=2時，an=2n-1，（8分），
∴bn+1-bn=an=2n-1，疊加可得bn=2n-1+2，（10分）
由log2(bn-2)＜

3

16

n2+t對任意n∈N^*恒成立，
得n-1＜

3

16

n2+t對任意n∈N^*恒成立，
即t＞(-

3

16

n2+n-1)max，（12分）
而-

3

16

n2+n-1=-

3

16

(n-

8

3

)2+

1

3

，
∴當(dāng)n=3時，(-

3

16

n2+n-1)max=

5

16

，（14分）
∴t＞

5

16

．（15分）

點(diǎn)評：本題考查滿足條件的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意疊加法的合理運(yùn)用．