Question

設(shè)曲線f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1（其中a＞0）在點（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點（0，2）．證明：當(dāng)x₁≠x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂）

Answer 1

分析：根據(jù)f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′（x）=x2-ax，由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），由此利用反證法能夠證明f'（x₁）≠f'（x₂）．

解答：解：f（x）=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f'（x）=x²-ax．
由于點（t，f（t））處的切線方程為
y-f（t）=f'（t）（x-t），而點（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0，
由于曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））處的切線都過點（0，2），
即x₁，x₂滿足方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0
下面用反證法證明結(jié)論：
假設(shè)f'（x₁）=f'（x₂），
則下列等式成立：

2 3 x 3 1 - a 2 x 2 1 +1=0 ，(1) 2 3 x 3 2 - a 2 x 2 2 +1=0，(2) x 2 1 -ax1= x 2 2 -a x   2 ，(3)

由（3）得x₁+x₂=a
由（1）-（2）得x12+x1x2+x22=

3a2

4

…(4)
又

3a2

4

=x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x1)=(x1-

a

2

)2+

3a2

4

≥

3a2

4

∴x1=

a

2

，
此時x2=

a

2

，與x₁≠x₂矛盾，
所以f（x₁）≠f（x₂）．

點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．