已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=2px（p＞0）上，且拋物線的焦點(diǎn)F滿足
FA
+
FB
+
FC
=
0
，若BC邊上的中線所在直線l的方程為mx+ny-m=0（m，n為常數(shù)且m≠0）．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）O為拋物線的頂點(diǎn)，△OFA、△OFB、△OFC的面積分別記為S1、S2、S3，求證：S12+S22+S32為定值．
考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)F滿足
FA
+
FB
+
FC
=
0
，可得
AF
=
FB
+
FC
，取BC邊上的中點(diǎn)M，則
AF
=2
AM
，故點(diǎn)F在直線l上，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求p的值；
（Ⅱ）記A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由
FA
+
FB
+
FC
=
0
知：x1+x2+x3=3，且yi2=4xi(i=1，2，3)，即可證明結(jié)論．
解答： （Ⅰ）解：∵拋物線的焦點(diǎn)F滿足
FA
+
FB
+
FC
=
0
，
∴
AF
=
FB
+
FC
，
取BC邊上的中點(diǎn)M，則AF=2FM，
故點(diǎn)F在直線l上，
令y=0，得x=1，得拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），
于是，
p
2
=1，p=2．              …（5分）
（Ⅱ）證明：記A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
由
FA
+
FB
+
FC
=
0
知：x1+x2+x3=3，且yi2=4xi(i=1，2，3)．
于是，S12+S22+S32=
1
4
(
2
2
)2(y12+y22+y32)=
1
16
22•2×2×(x1+x2+x3)=
3
16
×24=3．    …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查拋物線的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用
FA
+
FB
+
FC
=
0
是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某電視臺(tái)舉辦青年歌手大獎(jiǎng)賽，有10名評(píng)委打分，已知甲、乙兩名選手演唱后的打分情況如莖葉圖所示：

（Ⅰ）從統(tǒng)計(jì)的角度，你認(rèn)為甲與乙比較，演唱水平怎樣？
（Ⅱ）現(xiàn)場有3名點(diǎn)評(píng)嘉賓A、B、C，每位選手可以從中選2位進(jìn)行指導(dǎo)，若選手選每位點(diǎn)評(píng)嘉賓的可能性相等，求甲乙兩選手選擇的點(diǎn)評(píng)嘉賓恰重復(fù)一人的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面說法正確的是（　　）
A、不存在既不是奇函數(shù)，有又不是偶函數(shù)的冪函數(shù)
B、圖象不經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）的冪函數(shù)一定不是偶函數(shù)
C、如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)冪函數(shù)相同
D、如果一個(gè)冪函數(shù)的圖象不與y軸相交，則y=xα中α＜0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)全集U=R，M={x|
1
8
＜2x＜1}，N={x|ln（-x）＞0}，則M∩∁UN=（　　）
A、{x|x≥-1}
B、{x|-3＜x＜0}
C、{x|x≤-3}
D、{x|-1≤x＜0}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值是（　�。�
A、2B、6C、24D、120

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，且過點(diǎn)(2，
2
)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F1作直線l1與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)F2作直線l2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且直線l1，l2互相垂直，試問
1
|MN|
+
1
|PQ|
是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出其取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)．設(shè)直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）過F作直線l交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點(diǎn)，且M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，求△TMN的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-1），且右焦點(diǎn)Q到直線x-y+2
2
=0的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）試問是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范圍，若不存在，說明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案