Question

10．若函數(shù)f（x）=x²+2a|x|+a²-6的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)g（x）=f（x）-b有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-6，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到f（0）=0，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=x²+2a|x|+a²-6的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則必有f（0）=0，
即a²-6=0，即a²=6，
即a=±$\sqrt{6}$，
當(dāng)a=$\sqrt{6}$時(shí)，f（x）=x²+2$\sqrt{6}$|x|，此時(shí)函數(shù)f（x）只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．
當(dāng)a=-$\sqrt{6}$時(shí)，f（x）=x²-2$\sqrt{6}$|x|，此時(shí)函數(shù)f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，滿足條件，
此時(shí)f（x）=x²-2$\sqrt{6}$|x|=（|x|-$\sqrt{6}$）²-6，
∴f（x）≥-6，
由g（x）=f（x）-b=0得b=f（x），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
要使函數(shù)g（x）=f（x）-b有4個(gè)零點(diǎn)，
則-6＜b＜0，
故答案為：（-6，0）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，得到f（0）=0是解決本題的關(guān)鍵．注意要利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．