已知f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
），
（1）試判斷f（x）的奇偶性，
（2）求證f（x）＞0．
考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）求出函數(shù)的定義域，再計算f（-x），與f（x）比較，即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和f（x）的奇偶性即可證得f（x）＞0．
解答： （1）解：由f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
）=x•
1+2x
2(2x-1)

由2x-1≠0，可得x≠0，
則定義域關(guān)于原點對稱，
f（-x）=-x•
1+2-x
2(2-x-1)
=-x•
2x+1
2(1-2x)
=x•
2x+1
2(2x-1)
=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（2）證明：當x＞0時，2x＞1，即2x-1＞0，2x+1＞0，
則f（x）=x（
1
2x-1
+
1
2
）＞0，
由f（x）為偶函數(shù)，即有f（-x）=f（x），
則x＜0時，f（x）＞0成立．
則對于x≠0的任何實數(shù)，都有f（x）＞0．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查函數(shù)的值域，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin
x
4
、cos
x
4
是y的方程y2+py+q=0的兩個實根，設(shè)函數(shù)f(x)=p2+2(
3
-1)q-2cos2
x
4
，試問
（1）求f（x）的最值；
（2）f（x）的圖象可由正弦曲線y=sinx經(jīng)過怎樣的變換而得到；
（3）求f（x）的單增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinαcosα=
15
32
，且
π
4
＜α＜
π
2
，則cosα-sinα的值是（　�。�
A、-
1
2
B、
1
2
C、-
1
4
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

畫出下列函數(shù)的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間和值域．
（1）y=x 
4
3
；      
（2）y=
x+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)p：實數(shù)x滿足x≤2或x＞3；q：實數(shù)x滿足a＜x＜3a，其中a＞0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù) x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的不等式（ax-1）（x-2）＜0．
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若a＞0，求不等式的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若sinα+2cosα=0，則sin2α-sinαcosα=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）單調(diào)遞增，求方程f（2x）=f（
x+1
x+4
）的所有根之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a是實數(shù)，
(a-i)(1-i)
i
＜0，則a的值為（　　）
A、1
B、-1
C、
2
D、-
2

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