Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+$\frac{2}{3}$π）+2cos²$\frac{x}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角和的正弦、余弦函數(shù)、二倍角公式及其變形化簡(jiǎn)解析式，由正弦函數(shù)的值域求出f（x）的值域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)f（B）=1，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由條件和余弦定理列出方程，求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=cosxcos$\frac{2}{3}$π-sinxsin$\frac{2}{3}$π+cosx+1
=$-\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+cosx+1=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+1
=$sin（x+\frac{5π}{6}）+1$，
所以f（x）的值域是[0，2]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（B）=$sin（B+\frac{5π}{6}）+1$=1，
則$sin（B+\frac{5π}{6}）=0$，
又0＜B＜π，則B=$\frac{π}{6}$，
因?yàn)閎=1，c=$\sqrt{3}$，
則由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
化簡(jiǎn)得，a²-3a+2=0，解得a=1或a=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，兩角和的正弦、余弦函數(shù)、二倍角公式，以及正弦函數(shù)的值域的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡(jiǎn)、變形能力．