Question

2．（1）設x＞0，y＞0，若$\sqrt{2}$是2^x與4^y的等比中項，則①x²+2y²的最小值為$\frac{1}{3}$．②$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．
（2）根據(jù)以上兩個小題的解答，總結(jié)說明含條件等式的求最值問題的解決方法（寫出兩個）
①二次函數(shù)的性質(zhì)②均值不等式．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等比中項和指數(shù)冪的運算性質(zhì)可得x+2y=1，①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值，②根據(jù)均值不等式即可求出最值，
（2）由（1）直接得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$是2^x與4^y的等比中項，
∴4^y•2^x=2，
∴2y+x=1，
①x²+2y²=（1-2y）²+2y²=6y²-4y+1=6（y-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$，當y=$\frac{1}{3}$時，由最小值，最小值為$\frac{1}{3}$，
②$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2y+x）=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\sqrt{2}$-1，y=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$取等號，故$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
（2）①二次函數(shù)的性質(zhì)，②均值不等式，
故答案為：（1）①$\frac{1}{3}$，②3+2$\sqrt{2}$，
（2）①二次函數(shù)的性質(zhì)，②均值不等式．

點評 本題考查了等比中項，以及最值的問題，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式，屬于中檔題．