【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí)f(x)= .
(1)求f(x)的解析式;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性(不必證明);
(3)若對任意的t∈R,不等式f(k﹣3t2)+f(t2+2t)≤0恒成立,求k的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵當(dāng)x≥0時(shí)有 ,
∴當(dāng)x≤0時(shí),﹣x≥0,
∴ (x≤0),
∴
(2)
解:∵當(dāng)x≥0時(shí)有 ,∴f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)
又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)是在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù)
(注:只判斷f(x)是在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù))
(3)
解:f(k﹣3t2)+f(t2+2t)≤0則f(t2+2t)≤﹣f(k﹣3t2)=f(3t2﹣k)
因f(x)為增函數(shù),由上式推得,t2+2t≤3t2﹣k,∴2t2﹣2t﹣k≥0
即對一切t∈R恒有2t2﹣2t﹣k≥0
從而判別式△=4+8k≤0,∴
【解析】(1)依題意,當(dāng)x≤0時(shí),﹣x≥0,利用 ,可求得當(dāng)x≤0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式,從而可得f(x)的解析式;(2)當(dāng)x≥0時(shí),將函數(shù) 分離出常數(shù)2,利用反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷出f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),再利用奇函數(shù)的單調(diào)性質(zhì),可判斷f(x)的單調(diào)性;(3)利用(2)可知,f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù),再利用奇函數(shù)的性質(zhì),將不等式f(k﹣3t2)+f(t2+2t)≤0轉(zhuǎn)化為t2+2t≤3t2﹣k恒成立,利用判別式△=4+8k≤0即可求得k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增,和單調(diào)不減兩種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線: ,曲線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線, 的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)曲線: (為參數(shù), , )分別交, 于, 兩點(diǎn),當(dāng)取何值時(shí), 取得最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知: 、 、 是同一平面上的三個(gè)向量,其中 =(1,2).
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐標(biāo).
(2)若| |= ,且 +2 與2 ﹣ 垂直,求 與 的夾角θ
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a1=3,an=2an﹣1+(t+1)2n+3m+t(t,m∈R,n≥2,n∈N*)
(1)t=0,m=0時(shí),求證: 是等差數(shù)列;
(2)t=﹣1,m= 是等比數(shù)列;
(3)t=0,m=1時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某社區(qū)工會(huì)對當(dāng)?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進(jìn)行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖,其中第二組月收入在[1.5,2)千元的頻數(shù)為300,則此次抽樣的樣本容量為( )
A.1000
B.2000
C.3000
D.4000
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次測驗(yàn)共有4個(gè)選擇題和2個(gè)填空題,每答對一個(gè)選擇題得20分,每答對一個(gè)填空題得10分,答錯(cuò)或不答得0分,若某同學(xué)答對每個(gè)選擇題的概率均為 ,答對每個(gè)填空題的概率均為 ,且每個(gè)題答對與否互不影響.
(1)求該同學(xué)得80分的概率;
(2)若該同學(xué)已經(jīng)答對了3個(gè)選擇題和1個(gè)填空題,記他這次測驗(yàn)的得分為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知空間四邊形ABCD的兩條對角線的長AC=6,BD=8,AC與BD所成的角為30o , E,F(xiàn),G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求四邊形EFGH的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱與四邊形BDEF相交于BD, 平面ABCD,DE//BF,BF=2DE,AF⊥FC,M為CF的中點(diǎn), .
(I)求證:GM//平面CDE;
(II)求證:平面ACE⊥平面ACF.
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