Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），0＜x≤2}\\{1-{2}^{x}，-2≤x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=|f（x）|圖象與直線y=kx+k有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$）
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 函數(shù)y=|f（x）|圖象與直線y=kx+k有3個(gè)交點(diǎn)函數(shù)的圖象與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=|f（x）|圖象與直線y=kx+k有3個(gè)交點(diǎn)，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），0＜x≤2}\\{1-{2}^{x}，-2≤x≤0}\end{array}\right.$，與y=k（x+1）有3個(gè)不同交點(diǎn)，
作y=f（x）與y=k（x+1）的圖象如下，

易知直線y=k（x+1）過定點(diǎn)A（-1，0），斜率為k．
當(dāng)直線y=k（x+1）與y=ln（x+1）相切時(shí)是一個(gè)臨界狀態(tài)，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{k=y′=\frac{1}{{x}_{0}+1}}\\{k（{x}_{0}+1）=ln（{x}_{0}+1）}\end{array}\right.$，
解得，x₀=e-1，k=$\frac{1}{e}$，
又函數(shù)過點(diǎn)B（2，ln3），
k_AB=$\frac{ln3}{2-（-1）}$=$\frac{ln3}{3}$，
故$\frac{ln3}{3}$≤k＜$\frac{1}{e}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，注意臨界狀態(tài)的確定．