Question

已知：如圖邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）求證：直線B₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）求直線AC₁與平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值．
（3）求三棱錐B-A₁C₁D的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用線面垂直判定定理；（2）找到平面角，再求正切值；（3）由體積公式求值．

解答： 解：（1）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中有B₁D₁⊥A₁C₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，
∴直線B₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴直線AC₁與平面A₁B₁C₁D₁所成角為∠AC₁A₁，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AA1=1，A1C1=

2

∴tan∠AC1A1=

1

2

=

2

2

（3）VB-A1C 1D=

1

3

×

1

2

DD1×S△A1C 1D=

1

6

×

3

×

1

2

×(

2

)2sin60°=

1

4

點評：本題在正方體中考查了空間中線面的垂直及線面所成角的求法，還有體積公式，屬于基礎題．