Question

(2007福建，22)已知函數(shù)．

(1)若k=e，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若k＞0，且對于任意，f(|x|)＞0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)＋f(－x)，求證：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由k=e得，所以． 由得x＞1，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)， 由得x＜1，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)． (2)由f(|－x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函數(shù)，于是f(|x|)＞0對任意成立等價于f(x)＞0對任意x≥0成立． 由得x=ln k． ①當(dāng)時，，此時f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)=1＞0，符合題意． ②當(dāng)時，ln k＞0，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表： 由此可得，在[0，＋∞)上f(x)≥f(ln k)=k－kln k． 依題意，k－kln k＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．綜合①、②得， 實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e． (3)∵， ∴， ∴， ， …… ． 由此得，． 故，．