Question

如圖，從雙曲線

x2

9

-

y2

25

=1的左焦點(diǎn)F₁引圓x²+y²=9的切線，切點(diǎn)為T(mén)，延長(zhǎng)F₁T交雙曲線右支于P點(diǎn)．設(shè)M為線段F₁P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|F₁t|=

 

；|MO|-|MT|=

 

．

Answer 1

分析：先從雙曲線

x2

9

-

y2

25

=1得：a=3，b=5．連OT，則OT⊥F₁T，在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=b．連PF₂，M為線段F₁P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)得出|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|），最后結(jié)合雙曲線的定義即可得出答案．

解答：解：從雙曲線

x2

9

-

y2

25

=1得：a=3，b=5．
連OT，則OT⊥F₁T，
在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=

OF 1 2 -OT 2

=

c 2-a 2

=b=5．
連PF₂，M為線段F₁P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
∴OM=

1

2

PF₂，
∴|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=

1

2

（|PF₂|-|PF₁|）+5=5-a=2．
故答案為：5，2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義及三角形中位線和直線與圓相切時(shí)應(yīng)用勾股定理．解答的關(guān)鍵是熟悉雙曲線的定義的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系以及三角形中的有關(guān)結(jié)論．