已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn=
an(an+1)2
，n∈N+．求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
分析：由已知遞推公式可先求a1，然后利用an=Sn-Sn-1即可證明
解答：證明：∵Sn=
an(an+1)
2

∴S1=
a1(1+a1)
2

∴a1=1…（1分）
由
2Sn=
a
2
n
+an
2Sn-1=
a
2
n-1
+an-1
⇒2an=2(Sn-Sn-1)=
a
2
n
-
a
2
n-1
+an-an-1…（3分）
所以（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵an+an-1＞0
∴an-an-1=1
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列  …（6分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的和與項之間的相互轉(zhuǎn)化關系的應用，及等差數(shù)列的定義在等差數(shù)列的證明中的應用．
練習冊系列答案
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2n
3n+1
(n∈N*，n≤8)，則下列各數(shù)是否為數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？如果不是，為什么？（1）
3
5
（2）
11
17

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[　　]
A．

8

B．

16

C．

32

D．

36

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已知數(shù)列{an}的通項為an＝3n+8，下列各選項中的數(shù)為數(shù)列{an}中的項的是


  1. A.
    8
  2. B.
    16
  3. C.
    32
  4. D.
    36

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