Question

為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=x²-50x+900，且每處理一噸廢棄物可得價值為10萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補(bǔ)貼10萬元．
（1）當(dāng)x∈[10，15]時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，請求出國家最少補(bǔ)貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=x²-50x+900，且每處理一噸廢棄物可得價值為10萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補(bǔ)貼10萬元，可得函數(shù)關(guān)系式，配方，求出P的范圍，即可得出結(jié)論；
（2）求出平均處理成本，利用基本不等式，即可求出結(jié)論．

解答： 解：（1）根據(jù)題意得，利潤P和處理量x之間的關(guān)系：
P=（10+10）x-y
=20x-x²+50x-900
=-x²+70x-900
=-（x-35）²+325，x∈[10，15]．
∵x=35∉[10，15]，P=-（x-35）²+325在[10，15]上為增函數(shù)，
可求得P∈[-300，-75]．                                         
∴國家只需要補(bǔ)貼75萬元，該工廠就不會虧損．                      

（2）設(shè)平均處理成本為Q=

y

x

=x+

900

x

-50≥2

x• 900 x

-50=10，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

900

x

時等號成立，由x＞0得x=30．
因此，當(dāng)處理量為30噸時，每噸的處理成本最少為10萬元．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)最值的求解，正確運用求函數(shù)最值的方法是關(guān)鍵．