Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，E，F(xiàn)分別為AB、BB₁的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐A₁-AB₁D₁的體積；
（2）求異面直線EF與BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）三棱錐A₁-AB₁D₁中，由S△A1B1D1=

1

2

×3×4=6，AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=4，能求出三棱錐A₁-AB₁D₁的體積．
（2）由E，F(xiàn)分別為AB、BB₁的中點(diǎn)，知EF∥DC₁，從而得到∠BC₁D異面直線EF與BC₁所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線EF與BC₁所成角的余弦值．

解答：解：（1）三棱錐A₁-AB₁D₁中，
∵S△A1B1D1=

1

2

×3×4=6，
AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=4，
∴三棱錐A₁-AB₁D₁的體積
V=

1

3

×S△A1B1D1×AA1 =

1

3

×6×4=8．
（2）∵E，F(xiàn)分別為AB、BB₁的中點(diǎn)，
∴EF∥DC₁，
∴∠BC₁D異面直線EF與BC₁所成角（或所成角的補(bǔ)角），
連接BD，∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，
∴BC1=4

2

，DC₁=5，BD=5，
∴cos∠BC₁D=

(4 2 )2+52-52

2×4 2 ×5

=

2 2

5

．
故異面直線EF與BC₁所成角的余弦值為

2 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．